هندسه هذلولی

تا وقتی که مکاتبات گاوس، پس از مرگ او در ۱۸۵۵، منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفته بود. هنوز هم تا سال ۱۸۸۸ لوئیس کارول به هندسه نااقلیدسی می خندید برخی از بهترین ریاضیدانان بلترامی، کیلی، کلاین، پوانکاره، کلیفور و ریمان موضوع را جدی گرفتند، بسط دادند، روشن کردند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات، به ویژه در نظریه توابع مختلط به کار بردند. در ۱۸۶۸ ریاضیدان ایتالیایی «ائوجنیو بلترامی» برای آخرین بار مسئله اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیرممکن است او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست همچون هندسه اقلیدسی، دستگاهی است سازگار، اثبات کرد. در هندسه نااقلیدسی، نقیض اصل توازی را به عنوان اصل موضوع مفروض می گیریم. یعنی این گزاره را که «از یک نقطه خارج از یک خط راست بیش از یک نقطه می توان به موازات آن رسم کرد» به جای اصل موضوع توازی اقلیدس قرار می دهیم. این امر به هندسه حیرت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی تفاوت اساسی دارد. به قول گاوس قضایای این هندسه به باطلنما می مانند و شاید در نظر فردی مبتدی بی معنی جلوه کنند. ولی تفکر پیگیر و آرام آشکار می سازد که هیچ چیز ناممکن در آنها نیست، مثلا، سه زاویه مثلث تا بخواهید می توانند کوچک شوند به شرطی که اضلاع آن به اندازه کافی بزرگ شوند و تازه اضلاع مثلث هرچه باشند، مساحت مثلث هیچ گاه نمی تواند از حد معینی زیادتر شود و در واقع هیچ گاه هم نمی تواند به آن برسد. گاوس در نامه تاریخی خود به دوست ریاضیدانش «تاورینوس» می گوید: «همه تلاش های من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است. چیزی که در آن با ادراک ما مغایرت دارد این است که اگر راست باشد، باید در فضای آن یک اندازه خطی وجود داشته باشد که خود به خود معین است اگر چه ما آن را نمی دانیم... هرگاه این هندسه نااقلیدسی راست باشد و بتوان آن مقدار ثابت را با همان کمیاتی که به هنگام اندازه گیری هایمان بر روی زمین و در آسمان بدان ها برمی خوریم، مقایسه کنیم آن گاه ممکن است آن مقدار ثابت را پس از تجربه تعیین کرد. در نتیجه، من گاهی به شوخی آرزو کرده ام که هندسه اقلیدسی راست نبود، چون در آن صورت ما از پیش انگاره مطلقی برای اندازه گیری داشتیم.» در هندسه هذلولی می توان ثابت کرد که اگر دو مثلث متشابه باشند، آنگاه قابل انطباق اند. به عبارت دیگر ملاک «ززز» برای قابلیت انطباق درست است در این هندسه، هندسه هذلولی ممکن نیست مثلثی را بدون انداختن از شکل طبیعی بزرگ یا کوچک کرد. در نتیجه در یک جهان هذلولی، عکاسی ذاتا جنبه فراواقعگرایی سوررئالیستی پیدا خواهد کرد یک نتیجه تکان دهنده قضیه مذکور این است که در هندسه هذلولی یک پاره خط می تواند به کمک یک زاویه مشخص شود. یعنی یک زاویه از یک مثلث متساوی الساقین، طول یک ضلع را به طور منحصر به فرد معین می سازد. همان طور که در نامه گاوس به تاورینوس نیز ذکر گردید، اغلب با بیان اینکه هندسه هذلولی واحد مطلق طول دارد، این نکته را هیجان انگیزتر می کنند. اگر هندسه جهان مادی هندسه هذلولی بود لازم نبود واحد طول با دقت در دفتر استانداردها نگاهداری شود. در هندسه اقلیدسی، تقسیم هر زاویه به سه قسمت برابر، به وسیله ستاره خط کش غیرمدرج و پرگار تنها، نشدنی است. در هندسه هذلولی، علاوه بر آنکه این تقسیم نشدنی است، تقسیم هر پاره خط به سه قسمت برابر نیز به وسیله ستاره و پرگار تنها، نشدنی است در هندسه اقلیدسی، رسم چهارضلعی منتظمی که مساحت آن برابر مساحت دایره مفروضی باشد، شدنی نیست ولی در هندسه هذلولی این کار شدنی است